Trucos para las ecuaciones de 2º grado

Al aprender las ecuaciones de 2º grado nos encontramos en primer lugar que se distinguen dos tipos: las completas y las incompletas. Las incompletas a su vez se dividen en dos clases, según falte el término en x o el término independiente. Por alguna razón que todavía me cuesta comprender, hay un gran porcentaje de alumnos que tienen dificultades en la resolución de las ecuaciones de 2º grado, incluso en los casos más fáciles, como son los de las incompletas. Después de muchos años explicando y resolviendo las ecuaciones de 2º grado no os debe extrañar que para los profesores sean totalmente familiares. De hecho hay algunas que aparecen tan repetidas que nos sabemos las soluciones de memoria, y otras que aunque no las sepamos somos capaces de averiguarlas mentalmente en pocos segundos. Conocemos al dedillo las propiedades de las ecuaciones de 2º grado en incluso, en algunos casos, hemos elaborado trucos para sacar rápidamente la información que necesitamos. Esto no significa que los profesores de matemáticas seamos genios, ni mucho menos. Sucede lo mismo cuando uno lleva mucho tiempo viviendo en un barrio de una ciudad. Si paseamos mucho por él al final conocemos todas las calles, todos los atajos, los caminos más largos, los más cortos, todos los comercios, las tiendas más baratas y las más caras, etc. Algunas personas se asombran cuando ven a ciertos individuos realizar operaciones matemáticas como sumar, restar o multiplicar con extrema rapidez. Estos individuos suelen aparecer en programas de televisión o dan exhibiciones públicas. En realidad son personajes de circo, que han cultivado una habilidad y hacen de ella un espectáculo, como el que hace juegos malabares o el equilibrista. Pero no son más inteligentes ni por supuesto genios, y mucho menos en las matemáticas. Existieron grandes matemáticos que tenían dificultades en realizar los más pequeños cálculos aritméticos. Su genialidad no se basaba en una habilidad que la puede realizar una calculadora, sino en un sentido de la matemática que sólo es accesible a unos pocos. Sin embargo, lo que acabamos de decir no es una excusa para dejar de aprender la tabla de multiplicar. Me sorprende ver que hay alumnos que necesitan usar la calculadora para multiplicar 63 por 10, o que al multiplicar 20 por 50 la calculadora les da el resultado de 0.4 y se quedan tan campantes. Este es el otro extremo, provocado por la pereza mental. Toda persona con una mínima formación debería familiarizarse con los números y las operaciones aritméticas, no para dar exhibiciones, sino para no estar siempre cojeando y necesitando de una muleta como es la calculadora. Regresando al tema de las ecuaciones de 2º grado, podemos empezar por las incompletas. Veamos las que carecen del término en x.
Tenemos por ejemplo las ecuaciones:
Suponiendo que el número a es positivo (que todo hay que suponerlo), la solución es inmediata, con sólo hacer la raíz cuadrada de a y tomar valor positivo y negativo. así por ejemplo:
Luego tenemos el caso de las que tienen el término independiente positivo:
Ésas *no tienen solución, ninguna de ellas. (Bueno, en realidad no tienen solución real*, porque en el cuerpo de los números complejos sí tienen solución, ya que en este conjunto se pueden hacer raíces cuadradas de números negativos.)
Luego tenemos las ecuaciones a las que les falta el término independiente:
Ya sabemos que a este tipo se le saca factor común la x y etcétera. Pero decir las soluciones mentalmente es sencillísimo. Una de ellas es siempre cero y la otra se obtiene cambiándole a b el signo y dividiendo por a.
En relación con la ecuación de segundo grado completa, vamos a fijarnos en aquellas bastante corrientes en las que el primer coeficiente vale 1:
Debemos tener en cuenta una propiedad muy interesante. En este tipo de ecuaciones el término b coincide con la suma de las dos soluciones cambiada de signo, y el término c es igual al producto de las dos soluciones:
Por tanto algunas veces se pueden decir a ojo las soluciones de la ecuación:
Observemos bien la relación que hay entre los coeficientes y las soluciones en el ejemplo siguiente:
Otro truco muy simple puede ser el siguiente: cuando la suma de los coeficientes es igual a cero, entonces una de las raíces es 1 (la otra hay que calcularla). Este truco es consecuencia del Teorema del Resto.
Y con esto sería todo por el momento. Si se me ocurren más trucos ya los iré añadiendo.