Glosario
| Binomio de Newton |
Se trata de una fórmula general para
obtener cualquier potencia de un binomio sin necesidad de desarrollarla:
Los números que aparecen entre paréntesis uno sobre otro son números combinatorios (ver Combinaciones). Así por ejemplo, una vez calculados los coeficientes o números combinatorios tenemos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Por supuesto, podemos hacerlo sin necesidad de la fórmula de arriba, aunque el trabajo es más largo y costoso: (a + b)4 = (a + b) · (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a2 + ab + ba + b2) · (a + b) · (a + b) = ... Los números combinatorios que aparecen como coeficientes se pueden calcular mediante la fórmula correspondiente o bien con ayuda del Triángulo de Tartaglia. |
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| Combinaciones |
En lengua española se le llama
combinaciones a una forma de calcular las posibilidades diferentes
cuando elegimos un grupo de elementos de entre un conjunto. Supongamos que tenemos un conjunto de cuatro tenistas, Agassi, Graf, Moyá y Seles, y queremos elegir a dos de ellos para formar un equipo de dobles. Las posibilidades serían:
En total, 6 combinaciones diferentes. Debemos fijarnos en que el orden de la elección no importa, es decir, da lo mismo elegir a la pareja Agassi-Graf que a la pareja Graf-Agassi. Si el orden fuera importante, entonces habría más posibilidades (12 en total) y se llamarían variaciones.
Los signos de admiración son los factoriales de los números correspondientes, (ver factorial de un número). En el ejemplo anterior tendríamos:  |
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| Correspondencia biunívoca | Cuando
dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, es posible
establecer entre ellos una correspondencia biunívoca, es decir, asociar
los elementos de los dos conjuntos uno a uno, sin que sobre ni falte
ninguno.
Ejemplo: Tenemos tres amigos, Alberto, Clara y Sofía, y tres pasteles para invitarles a merendar, uno de nata, otro de chocolate y otro de crema. Si le damos un pastel a cada uno, estamos estableciendo una correspondencia biunívoca: cada uno tiene un pastel, y cada pastel es comido por uno de ellos. También es posible que Alberto no tenga hambre y que Clara se coma dos pasteles. En ese caso tendríamos también una correspondencia, pero no biunívoca. A las correspondencias biunívocas también se les llama aplicaciones biyectivas. |
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| Cuadrado mágico |
Cuadrícula o matriz de diversos tamaños en
la que disponemos los números de forma que la suma de los números de una
fila, columna o diagonal principal siempre da lo mismo. habitualmente
los números que se colocan son un conjunto que va desde el 1 hasta el
número de casillas que contiene el cuadrado.
Como ejemplo veamos uno de los más
conocidos, el cuadrado mágico de orden tres, que tiene nueve casillas,
en las que hay que disponer los dígitos del 1 al 9 de forma que
cualquier fila, columna o diagonal principal siempre sume lo mismo: 15.
Para ver un ejemplo de orden cuatro, obsérvese el cuadro Melancolía de Alberto Durero en el artículo las Matemáticas en el arte (1) |
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| Descomposición factorial en números primos |
Todo número entero positivo se puede
descomponer en forma única como producto de números primos. Este es uno
de los motivos por los que los números primos son tan importantes y la
principal razón por la que al 1 no se le permite ser número primo,
porque si lo fuera, la descomposición no sería única. He aquí algunos ejemplos:
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| Dodecaedro |
 Es
uno de los poliedros perfectos, también llamados sólidos pitagóricos
o sólidos platónicos. Está formado por doce caras, cada una de ellas
es un pentágono regular.
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| Factorial de un número |
El factorial es una forma abreviada de
expresar el producto de un número entero positivo por todos los enteros
positivos menores que él. Su notación es un signo de admiración, !. Así tenemos, por ejemplo, 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Por definición se acepta que 0! = 1, y que 1! = 1. El factorial solo se puede aplicar a los números enteros positivos, pero en matemáticas superiores existe la llamada Función Gamma de Euler, que "extiende" el factorial a todos los números, reales y complejos, salvo a los enteros negativos. |
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| Geometrías no euclídeas | Durante
muchos siglos se supuso que el quinto postulado de la geometría de
Euclides era deducible de los otro cuatro. El quinto postulado dice que
dada una recta, por un punto exterior a ella solo puede trazarse una
recta paralela. Euclides estableció sus cinco postulados o axiomas para
construir, a partir de ellos, todas las propiedades de lo que se ha
llamado geometría euclídea.
En el siglo XIX algunos matemáticos, (Gauss, Lobachevski, Bolyai y Riemann), empezaron a sospechar que el quinto postulado era necesario para la geometría euclídea, y si se eliminaba o se cambiaba, surgían geometrías diferentes pero perfectamente consistentes. Si sustituimos el postulado por otro que diga que por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas paralelas, o por otro que diga que no existen rectas paralelas, surgen otras dos geometrías: la hiperbólica y la elíptica. |
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El
infinito, cuyo símbolo es un 8 tumbado,
, es un concepto que solo nos podemos imaginar, pues no lo encontramos
en nuestra experiencia con las cantidades cotidianas. El infinito tiene
diversas propiedades que contradicen nuestro sentido común, e incluso
hay varios tamaños de infinitos, y unos son más grandes que
otros. |
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| Ley de Bode | Regla
aritmética que rige la distancia entre los planetas y el sol. Si
tomamos la serie 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, es decir, la serie que
comienza en 0 le sigue el 3 y luego vamos multiplicando por 2 cada
término hasta obtener ocho términos en total, y sumamos 4 a cada
término obtenido, nos sale la serie 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196. Si
multiplicamos cada término por 15, nos salen, con una aproximación muy
ajustada, los millones de kilómetros que distan los primeros ocho
planetas del sol, considerando entre estos ocho al planeta que existió
en lo que ahora es un cinturón de asteroides, entre Marte y Júpiter.
Los planetas Neptuno y Plutón no se ajustan tan bien a la misma
progresión.
La ley de Bode fue descubierta por el matemático alemán Johann Titius en 1766 y publicada por el astrónomo alemán Johann Bode en 1772.
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| Número áureo | También
conocido como número f
(fi), número de oro, divina proporción, etc. Su nombre viene del
escultor griego Fidias, que lo usó mucho en sus obras. Su valor es:
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| Números amigos | Dos
números se dicen que son amigos si la suma de los divisores propios de
uno, es decir los divisores excluyéndolo a él mismo, da el otro
número, y la suma de los divisores propios del otro número da el
primero.
La primera pareja de números amigos es 220 y 284. Para más detalles, ver el artículo Los puntazos de Pitágoras. |
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Es
el conjunto formado por los naturales, sus opuestos y el cero. Se
representa por la letra Z, aunque se suele escribir con la diagonal
doble: 
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } |
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| Número fi | Ver número áureo. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Números irracionales | Son
aquellos que no son enteros ni fraccionarios, es decir, aquellos
números que no se pueden expresar como cociente de dos números
enteros.
Los primeros números irracionales aparecieron con las raíces, como la raíz cuadrada de dos o la raíz cúbica de dos. Dichas cantidades aparecían al tratar de calcular diagonales de cuadrados, lados de polígonos y de poliedros, etc. El número pi también es irracional, lo mismo que el número fi y el número e. |
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| Números perfectos | Aquellos
que son iguales a la suma de todos sus divisores propios, es decir la
suma de todos los divisores excluyéndolos a ellos mismos. Ejemplo: el 6
tiene por divisores 1, 2, 3, 6. Si sumamos los divisores propios: 1+2+3
= 6, luego 6 es perfecto. El 8 tiene por divisores 1, 2, 4, 8, pero si
sumamos 1+2+4 no da 8, luego 8 no es perfecto.
6 es el número perfecto más pequeño y luego tenemos al 28. Para más detalles, ver el artículo Los puntazos de Pitágoras. |
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| Número pi | Es
quizás uno de los números más conocidos en matemáticas. Se
representa por la letra griega p
y
es la proporción exacta entre la longitud de una circunferencia y la
longitud de su diámetro.
Pi es un número irracional. Su valor es imposible de expresar exactamente con números decimales, tan solo podemos trabajar con aproximaciones, como 3'14 o 3'1416, que son las más corrientes. Con la ayuda de los modernos superordenadores se han calculado miles de millones de cifras decimales de pi. En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi era un número trascendente, es decir, que no se puede obtener como solución de una ecuación polinómica de coeficientes enteros. De paso esto también resuelve el problema de la cuadratura del círculo: dado un círculo construir a partir de él con regla y compás un cuadrado que tenga exactamente el mismo perímetro que la longitud del círculo. Lindemann, al demostrar que pi era un número trascendente, demostró como consecuencia que el problema de la cuadratura del círculo no puede tener solución. |
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| Números primos | Se
consideran primos aquellos números enteros positivos distintos del 1
que no son divisibles entre ningún otro número entero positivo salvo
él mismo y el 1. Otra definición sería aquél número entero positivo
que no se puede descomponer como producto de dos o más números enteros
positivos distintos de 1.
Mediante el método conocido como criba de Eratóstenes es fácil determinar los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... |
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| Poliedro | Cualquier cuerpo sólido o tridimensional cuya superficie está compuesta por caras planas. Un cubo, una pirámide, un prisma, son poliedros, pero una esfera, un cilindro, un cono, no lo son. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Progresiones aritméticas | Se
trata de una sucesión de números caracterizada porque la diferencia
entre un número y el anterior es constante. Ejemplo: 2, 5, 8, 11,
14,... En esta sucesión la diferencia entre un número y el anterior
siempre vale 3, es decir, los números van de tres en tres.
Si tenemos la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100, se trata de una progresión aritmética, cuya diferencia constante es 1 (los números aumentan de uno en uno). |
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| Pentagrama |
 En
matemáticas se le llama así a la estrella de cinco puntas que se forma
al unir los vértices no contiguos de un pentágono regular. Para los
pitagóricos el pentagrama tenía propiedades mágicas, y lo usaban como
símbolo de su comunidad. A lo largo de los siglos se ha mantenido como
un emblema de la magia y de las fuerzas ocultas, y ha sido adoptado por
numerosos grupos y sociedades secretas.
Entre las numerosas propiedades matemáticas del pentagrama se encuentra la de contener en sus proporciones al número fi o número de oro. En efecto, la proporción entre el lado más largo de uno de los triángulos que forman sus puntas y la base de dicho triángulo es exactamente el número fi. |
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| Es
un poliedro en cuya base hay un polígono, generalmente regular, y cuyas
caras laterales son triángulos.
Las construcciones en forma de pirámide de base cuadrada se dieron en la antigüedad entre diversas civilizaciones. Las más famosas son las tres de la planicie de Gizeh o Giza, cerca de El Cairo, Egipto, entre las que se encuentra la más alta de todas, la de Keops, conocida como la Primera Maravilla del Mundo Antiguo. |
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| Simetría axial | La
palabra axial se refiere a un eje o axis. La simetría axial se da en
una figura geométrica cuando presenta un eje de simetría. Si giramos
la figura respecto a este eje, la figura se conserva, no varía de
aspecto.
En las letras del alfabeto podemos ver ejemplos de lo dicho. La A es simétrica respecto a un eje vertical que pasa por su centro. La C, la D, la E, por ejemplo, son simétricas respecto a un eje horizontal. |
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| Simetría central | Se
dice que una figura geométrica presenta simetría central si al girarla
media vuelta queda exactamente igual que antes. También podemos decir
que los puntos de la figura tienen su simétrico respecto al centro de
la figura.
Con las letras del alfabeto podríamos poner ejemplos de simetría central: la N, la S, la Z, presentan simetría central. La H, la I, la O, la X, también tienen simetría central, y además presentan otro tipo de simetría, la axial. |
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| Tetractys |  Si
tomamos diez puntos y los distribuimos en forma de triángulo
equilátero se forma la tetractys, símbolo sagrado entre los
pitagóricos, que veían en el número 10 una alegoría de Dios y del
Universo, de las dimensiones de la naturaleza y de la escala musical. |
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| Variaciones |
En lengua española se le llama
variaciones a una forma de calcular las posibilidades diferentes
cuando tomamos varios elementos de entre un conjunto y los colocamos en
órdenes distintos. Supongamos que tenemos un conjunto de cuatro tenistas, Agassi, Graf, Moyá y Seles, organizamos un torneo entre los cuatro y nos preguntamos de cuántas formas distintas podrían quedar campeón y subcampeón. Las posibilidades serían:
En total, 12 variaciones diferentes. Debemos fijarnos en que aquí el orden de la elección sí importa, es decir, no da lo mismo que salga la pareja Agassi-Graf que la pareja Graf-Agassi, porque en el primer caso Agassi es el campeón y en el segundo lo es Graf. Aquí el orden es importante, si no lo fuera, estaríamos en el caso de las combinaciones. Para calcular las variaciones, existe la fórmula: V(m,n) = m · (m-1) · ... · (m-n+1) Donde m es el número de elementos que tiene el conjunto, y n es la cantidad de elementos que tomamos. En el ejemplo anterior tendríamos m=4 (total de tenistas) y n=2 (tomamos dos tenistas, uno para campeón y otro para subcampeón: V(4,2) = 4 · 3 = 12 |
Para calcular las
combinaciones, existe la fórmula o número combinatorio: